Часть 3 Запишите обоснованное решение задач 3–5. 3. Точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD. Докажите, что если AB || CD и AB = CD, то ∆ABD = ACDB. 4. Прямая АВ параллельна основанию МР равнобед- ренного треугольника МРК и пересекает его боковые сто- роны в точках А и В. Найдите неизвестные углы треуголь- ника АВК, если ∠К = 72°, ∠M = 54°. 5*. Докажите, что АС || BD, биссектриса угла если СВ - ACD, a A BCD равнобедрен- ный с основанием ВС. A C A Запишит 3. Отре КР = МО и 4. AB что АС || В 5*. Ha биссектр сектриса D B <MBC,

3. Дано: точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD, AB || CD, AB = CD. Доказать: ∆ABD = ∆CDB.

Доказательство:

1. Т.к. AB || CD и BD - секущая, то углы ABD и CDB - накрест лежащие и равны (как накрест лежащие при параллельных прямых).
2. BD - общая сторона треугольников ABD и CDB.
3. AB = CD (по условию).

Следовательно, ∆ABD = ∆CDB по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Дано: ∆MPK - равнобедренный, AB || MP, ∠K = 72°, ∠M = 54°. Найти: углы треугольника ABK.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠P = ∠M = 54°.
2. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠M + ∠P + ∠K = 180°. 54° + 54° + 72° = 180°.
3. Так как AB || MP, то углы BAK и M - соответственные и равны. ∠BAK = ∠M = 54°.
4. Так как AB || MP, то углы ABK и P - соответственные и равны. ∠ABK = ∠P = 54°.
5. Рассмотрим треугольник ABK. Сумма углов треугольника ABK равна 180°. Значит, ∠AKB = 180° - (∠BAK + ∠ABK) = 180° - (54° + 54°) = 180° - 108° = 72°.

5*. Дано: CB - биссектриса угла ACD, ∆BCD - равнобедренный с основанием BC. Доказать: AC || BD.

Доказательство:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠CBD = ∠BCD.
2. Так как CB - биссектриса угла ACD, то ∠ACB = ∠BCD.
3. Тогда ∠CBD = ∠BCD = ∠ACB.
4. ∠ACB = ∠CBD, эти углы являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей BC.
5. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AC || BD.

Ответ: доказано