Частное решение дифференциального уравнения y'' - 2y' + y = 5x + 1 ищется в виде

Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения (y'' - 2y' + y = 5x + 1), мы должны сначала определить вид частного решения, который подходит для правой части уравнения, а затем найти коэффициенты, при которых это частное решение удовлетворяет исходному уравнению. 1. **Определение вида частного решения:** Правая часть уравнения имеет вид многочлена первой степени (5x + 1). В общем случае, если правая часть дифференциального уравнения представляет собой многочлен (P(x)), то частное решение ищется в виде многочлена той же степени. Однако, прежде чем сделать вывод о виде частного решения, необходимо проверить, не является ли правая часть или ее производные решениями соответствующего однородного уравнения. Рассмотрим однородное уравнение (y'' - 2y' + y = 0). Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид: [r^2 - 2r + 1 = 0] Это уравнение можно переписать как ((r - 1)^2 = 0), что дает нам один корень (r = 1) кратности 2. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: [y_h(x) = C_1 e^x + C_2 xe^x] Поскольку правая часть (5x + 1) не является решением однородного уравнения, мы можем предположить, что частное решение имеет вид многочлена первой степени: (Ax + B). 2. **Вывод о частном решении:** Исходя из анализа однородного и неоднородного уравнений, частное решение следует искать в виде многочлена первой степени: [y_p(x) = Ax + B] Таким образом, правильный ответ: **Ax + B**.