Чему равен косинус угла между векторами \(\vec{d}\{-2;4\}\) и \(\vec{f}\{-2;3\}\)?

Для решения этой задачи нам понадобится формула косинуса угла между двумя векторами. Если у нас есть два вектора \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\), то косинус угла \(\theta\) между ними вычисляется по формуле: \[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\] где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - их длины (модули). В нашем случае, \(\vec{d} = (-2, 4)\) и \(\vec{f} = (-2, 3)\). 1. **Находим скалярное произведение векторов \(\vec{d}\) и \(\vec{f}\):** \[\vec{d} \cdot \vec{f} = (-2) \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\] 2. **Находим длины векторов \(\vec{d}\) и \(\vec{f}\):** \[|\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}\] \[|\vec{f}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\] 3. **Вычисляем косинус угла \(\theta\) между векторами \(\vec{d}\) и \(\vec{f}\):** \[\cos(\theta) = \frac{16}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{13}} = \frac{16}{\sqrt{260}} = \frac{16}{2\sqrt{65}} = \frac{8}{\sqrt{65}}\] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{65}\): \[\cos(\theta) = \frac{8\sqrt{65}}{65}\] Таким образом, косинус угла между векторами \(\vec{d}\{-2;4\}\) и \(\vec{f}\{-2;3\}\) равен \(\frac{8\sqrt{65}}{65}\). **Ответ:** \(\frac{8\sqrt{65}}{65}\)