Чему равна первая космическая скорость на Луне, если ускорение свободного падения на ней примерно в 6 раз меньше, чем на Земле, а радиус Луны в 3,7 раза меньше радиуса Земли ($$g_3 = 9,8 \text{ м/с}^2$$).

Первая космическая скорость (v) для Луны может быть найдена с использованием следующей формулы:

$$v = \sqrt{gR}$$,

где:

• (g) - ускорение свободного падения на Луне,
• (R) - радиус Луны.

Дано, что ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле, и радиус Луны в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Следовательно:

$$g_{\text{Луны}} = \frac{g_{\text{Земли}}}{6} = \frac{9.8}{6} \approx 1.63 \text{ м/с}^2$$ $$R_{\text{Луны}} = \frac{R_{\text{Земли}}}{3.7}$$

Тогда:

$$v = \sqrt{g_{\text{Луны}} \cdot R_{\text{Луны}}} = \sqrt{\frac{9.8}{6} \cdot \frac{R_{\text{Земли}}}{3.7}}$$

Так как нам нужно найти первую космическую скорость на Луне и у нас нет точного значения радиуса Земли, можно оценить порядок величины. Первая космическая скорость для Земли примерно 7.9 км/с, и мы знаем, что $$v = \sqrt{gR}$$. Значит:

$$v_{\text{Земли}} = \sqrt{g_{\text{Земли}} \cdot R_{\text{Земли}}} = 7.9 \text{ км/с}$$

Теперь можно выразить искомую скорость:

$$v_{\text{Луны}} = \sqrt{\frac{g_{\text{Земли}}}{6} \cdot \frac{R_{\text{Земли}}}{3.7}} = \sqrt{\frac{g_{\text{Земли}} \cdot R_{\text{Земли}}}{6 \cdot 3.7}} = \sqrt{\frac{(7900)^2}{6 \cdot 3.7}}$$ $$v_{\text{Луны}} = \frac{7900}{\sqrt{6 \cdot 3.7}} = \frac{7900}{\sqrt{22.2}} \approx \frac{7900}{4.71} \approx 1677 \text{ м/с} \approx 1.68 \text{ км/с}$$

Ответ: 4) 1,7 км/с