Через концы $$A$$ и $$B$$ дуги окружности с центром $$O$$ проведены касательные $$AC$$ и $$BC$$. Угол $$CAB$$ равен $$41°$$. Найдите угол $$AOB$$. Ответ дайте в градусах.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. 1. Понимание задачи: * У нас есть окружность с центром в точке $$O$$. * $$AC$$ и $$BC$$ – касательные к этой окружности в точках $$A$$ и $$B$$ соответственно. * Угол $$CAB$$ равен $$41°$$. * Нужно найти угол $$AOB$$. 2. Решение: * Поскольку $$AC$$ – касательная к окружности в точке $$A$$, то радиус $$OA$$ перпендикулярен касательной $$AC$$. Значит, угол $$OAC = 90°$$. * Аналогично, так как $$BC$$ – касательная к окружности в точке $$B$$, то радиус $$OB$$ перпендикулярен касательной $$BC$$. Значит, угол $$OBC = 90°$$. * Рассмотрим четырехугольник $$OACB$$. Сумма углов в четырехугольнике равна $$360°$$. Поэтому: \[ angle AOB + angle OAC + angle OBC + angle ACB = 360° \] * Подставим известные значения углов $$OAC$$ и $$OBC$$: \[ angle AOB + 90° + 90° + angle ACB = 360° \] \[ angle AOB + angle ACB = 180° \] * Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180°$$. Поэтому: \[ angle CAB + angle ABC + angle ACB = 180° \] * Нам известен угол $$CAB = 41°$$. Так как касательные $$AC$$ и $$BC$$ проведены из одной точки $$C$$ к окружности, отрезки касательных $$AC$$ и $$BC$$ равны. Следовательно, треугольник $$ABC$$ – равнобедренный с основанием $$AB$$. Значит, углы при основании равны: $$\angle CAB = \angle ABC = 41°$$. * Теперь найдем угол $$ACB$$: \[ 41° + 41° + angle ACB = 180° \] \[ angle ACB = 180° - 82° = 98° \] * Подставим значение угла $$ACB$$ в уравнение для четырехугольника $$OACB$$: \[ angle AOB + 98° = 180° \] \[ angle AOB = 180° - 98° = 82° \] * Таким образом, угол $$AOB$$ равен $$82$$ градуса. Ответ: $$\angle AOB = \textbf{82°}$$