Через любые четыре вершины куба проводят плоскости. Какова вероятность того, что наугад проведённая плоскость является диагональным сечением?

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть, сколько всего можно провести плоскостей через 4 вершины куба, и сколько из них будут диагональными сечениями.

Всего вершин у куба 8. Чтобы задать плоскость, нужно выбрать 4 вершины из этих 8. Число способов это сделать равно числу сочетаний из 8 по 4, то есть $$C_8^4$$.

$$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$$

Таким образом, всего можно провести 70 различных плоскостей через 4 вершины куба.

Теперь определим, сколько из этих плоскостей являются диагональными сечениями. Диагональное сечение - это плоскость, проходящая через две диагонали противоположных граней куба. У куба 6 граней, и для каждой пары противоположных граней можно провести одно диагональное сечение. Каждое диагональное сечение определяется однозначно, и у куба 6 диагональных сечений.

Вероятность того, что случайно выбранная плоскость является диагональным сечением, равна отношению количества диагональных сечений к общему числу возможных плоскостей.

$$P = \frac{\text{Количество диагональных сечений}}{\text{Общее количество плоскостей}} = \frac{6}{70} = \frac{3}{35}$$

Чтобы представить эту вероятность в виде десятичной дроби, разделим 3 на 35:

$$\frac{3}{35} \approx 0.0857$$

Ответ: 0.0857 (округлено до четырех знаков после запятой)