Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 20. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Пусть дана треугольная призма $$ABCA_1B_1C_1$$. Через среднюю линию $$MN$$ основания $$ABC$$ проведена плоскость $$MNC_2$$, параллельная боковому ребру $$AA_1$$. Отсечённая призма — $$MNC_2A_2B_2$$, где $$A_2B_2$$ лежит на $$AB$$, а $$C_2$$ лежит на $$CC_1$$. Площадь боковой поверхности отсечённой призмы равна 20. Нужно найти площадь боковой поверхности исходной призмы. 1. Средняя линия треугольника $$ABC$$ делит стороны $$AB$$ и $$BC$$ пополам. Значит, $$AM = MB$$ и $$BN = NC$$. 2. Так как плоскость $$MNC_2$$ параллельна боковому ребру, то $$AA_1 \parallel MNCC_2$$. Следовательно, призма $$MNC_2A_2B_2$$ подобна призме $$ABCA_1B_1C_1$$. 3. Пусть $$S_{бок}$$ — площадь боковой поверхности исходной призмы, а $$S_{бок}^{отс}$$ — площадь боковой поверхности отсечённой призмы. Тогда \(\frac{S_{бок}^{отс}}{S_{бок}} = k^2\), где $$k$$ — коэффициент подобия. 4. Так как $$MN$$ — средняя линия, то $$MN = \frac{1}{2}AC$$. Следовательно, коэффициент подобия $$k = \frac{1}{2}$$. 5. Получаем: \(\frac{20}{S_{бок}} = (\frac{1}{2})^2\) \(\frac{20}{S_{бок}} = \frac{1}{4}\) \(S_{бок} = 20 \cdot 4 = 80\) Ответ: 80 Разъяснение для ученика: Представь, что у тебя есть большой треугольный кусок сыра (это наша исходная призма). Ты разрезаешь его параллельно одной из сторон основания и боковому ребру ровно посередине (средняя линия). Получается маленький треугольный кусочек сыра (отсеченная призма). Нам известно, что площадь боковой поверхности маленького кусочка равна 20. Нужно найти площадь боковой поверхности большого куска. Так как разрез сделан посередине, то все размеры маленького кусочка в два раза меньше, чем у большого. Площадь связана с размерами в квадрате, поэтому площадь маленького кусочка в четыре раза меньше площади большого. Значит, чтобы найти площадь большого куска, нужно площадь маленького куска умножить на 4. 20 * 4 = 80.