1. Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника АВС соответственно, проведена прямая MN, параллельная стороне АС. Найдите длину CN, если ВС = 6, MN = 4, АС = 9.

1. Рассмотрим треугольник ABC и треугольник MBN. Так как MN || AC, то углы BMN и BAC равны как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB. Аналогично, углы BNM и BCA равны как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей BC. Следовательно, треугольники ABC и MBN подобны по двум углам.

2. Запишем отношение сторон в подобных треугольниках:

$$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$$

3. Подставим известные значения:

$$\frac{4}{9} = \frac{BN}{6}$$

4. Выразим BN:

$$BN = \frac{4 \cdot 6}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$$

5. Найдем CN, зная, что BC = BN + CN:

$$CN = BC - BN = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$$

6. Запишем ответ в виде десятичной дроби:

$$\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.33$$

Ответ: $$\frac{10}{3}$$