3. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

1. Найдем гипотенузу исходного прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

где a = 6 см и b = 8 см.

$$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

2. Площадь исходного треугольника равна:$$S = \frac{1}{2}ab$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$

3. Высота, проведенная к гипотенузе:

$$h = \frac{ab}{c} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ см}$$

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный катетом 6 см, частью гипотенузы и высотой. Обозначим эту часть гипотенузы за x.

$$x = \sqrt{6^2 - 4.8^2} = \sqrt{36 - 23.04} = \sqrt{12.96} = 3.6 \text{ см}$$

5. Тогда другая часть гипотенузы (y):

$$y = c - x = 10 - 3.6 = 6.4 \text{ см}$$

6. Площадь первого образовавшегося треугольника:

$$S_1 = \frac{1}{2} xh = \frac{1}{2} \cdot 3.6 \cdot 4.8 = 8.64 \text{ см}^2$$

7. Площадь второго образовавшегося треугольника:

$$S_2 = \frac{1}{2} yh = \frac{1}{2} \cdot 6.4 \cdot 4.8 = 15.36 \text{ см}^2$$

Ответ: 8.64 см² и 15.36 см²