Через точку A проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 6, AC = 54. Найдите AK.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности.

Теорема гласит: квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей, отсчитываемых от той же точки.

В нашем случае, отрезок AK является касательной, а отрезок AC - секущей. Тогда можем записать:

$$AK^2 = AB \cdot AC$$

Подставим известные значения:

$$AK^2 = 6 \cdot 54$$ $$AK^2 = 324$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$AK = \sqrt{324}$$ $$AK = 18$$

Ответ: 18