3. Через вершину А прямоугольника ABCD к его плоскости проведена перпендикуляр АК. Точка К удалена от стороны ВС на 15 см. Найдите расстояние от точки К до стороны CD, если BD = √337 см, АК = 12 см.

3. Пусть AM перпендикулярна BC, AN перпендикулярна CD.

Так как ABCD - прямоугольник, то AM = CD, AN = BC.

KM перпендикулярна BC (по теореме о трех перпендикулярах), KN перпендикулярна CD.

KM = 15 см (по условию).

Рассмотрим треугольник AKM. Он прямоугольный, так как AK перпендикулярна плоскости ABCD. По теореме Пифагора,

$$AM^2 = KM^2 - AK^2$$

$$AM^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$$

$$AM = \sqrt{81} = 9$$ см.

Значит, CD = 9 см.

Рассмотрим треугольник BCD. Он прямоугольный. По теореме Пифагора,

$$BD^2 = BC^2 + CD^2$$

$$(\sqrt{337})^2 = BC^2 + 9^2$$

$$337 = BC^2 + 81$$

$$BC^2 = 337 - 81 = 256$$

$$BC = \sqrt{256} = 16$$ см.

Значит, AN = 16 см.

Рассмотрим треугольник AKN. Он прямоугольный, так как AK перпендикулярна плоскости ABCD. По теореме Пифагора,

$$KN^2 = AK^2 + AN^2$$

$$KN^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$$

$$KN = \sqrt{400} = 20$$ см.

Ответ: 20 см.