3. Через вершину конуса под углом 30° к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Найдите объем конуса V, если расстояние от центра основания до хорды сечения равно 413. В ответ запишите значение выражения Vжище

Ответ: 1296

Решение:

1. Пусть O - центр основания конуса, A и B - точки пересечения плоскости с окружностью основания, M - середина хорды AB. Тогда OM = 4√3. Так как дуга AB равна 90°, треугольник AOB - прямоугольный, и OM является высотой, проведенной к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике AOB: \[OM = \frac{AB}{2} = 4\sqrt{3}\]

2. Тогда хорда AB = 2 * OM = 8√3. Так как треугольник AOB прямоугольный и равнобедренный (OA = OB = R), то \[AB = R\sqrt{2}\] \[R\sqrt{2} = 8\sqrt{3}\] \[R = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}\]

3. Пусть H - высота конуса, а угол между высотой и плоскостью основания равен 30°. Тогда угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. Высоту конуса можно найти, используя тангенс угла 30°: \[tg(30°) = \frac{H}{R}\] \[H = R \cdot tg(30°) = 4\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{2}\]

4. Объем конуса равен: \[V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (4\sqrt{6})^2 (4\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi (16 \cdot 6) (4\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 96 \cdot 4\sqrt{2} = 128\sqrt{2} \pi\]

5. Подставим в выражение: \[\frac{V}{\pi \sqrt{2}} = \frac{128\sqrt{2} \pi}{\pi \sqrt{2}} = 128\]

Ответ: 128