135. Через вершину С треуголь- ника АВС провели прямую, пересекающую сторону AB в точке F. Из точек А и В на прямую CF опустили перпендикуляры АМ и ВN. Дока- жите, что если FM = FN, то отрезок CF — медиана тре- угольника АВС.

Рассмотрим решение задачи 135:

Дано: CF - прямая, АМ ⊥ CF, BN ⊥ CF, FM = FN.

Доказать: CF - медиана треугольника АВС.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники △AMF и △BNF. FM = FN (по условию), ∠AMF = ∠BNF = 90° (т.к. АМ ⊥ CF, BN ⊥ CF), ∠AFM = ∠BFN (как вертикальные). Следовательно, △AMF = △BNF по стороне и двум прилежащим к ней углам.

2) Из равенства треугольников следует равенство сторон: АМ = BN.

3) Проведём высоту СН в треугольнике АВС. Треугольники △АМС и △BNC прямоугольные, АМ = BN (доказано выше), ∠AMC = ∠BNC = 90°, значит △АМС = △BNC по катету и противолежащему углу.

4) Из равенства треугольников следует равенство сторон: АС = ВС.

5) Т.к. АС = ВС, то треугольник АВС равнобедренный. По условию CF - прямая, содержащая высоту СН. Т.к. треугольник равнобедренный, то высота СН является и медианой. Значит, CF - медиана треугольника АВС.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.