134. На рисунке 121 NE 1 MK, PF 1 MK, ΜΕ = KF, NE = PF. Докажите, что ZNKM = ∠PMK.

Рассмотрим решение задачи 134:

Дано: NE ⊥ MK, PF ⊥ MK, ME = KF, NE = PF

Доказать: ∠NKM = ∠PMK

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники △NEM и △PFK. NE = PF (по условию), ME = KF (по условию), ∠NEM = ∠PFK = 90° (т.к. NE ⊥ MK, PF ⊥ MK). Следовательно, △NEM = △PFK по двум катетам.

2) Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз: NM = PK и равенство острых углов: ∠NME = ∠PKF.

3) Рассмотрим треугольники △NMK и △PKM. NM = PK (доказано выше), MK - общая сторона, ∠NME = ∠PKF (доказано выше), следовательно, ∠NMK = ∠PKM (т.к. ∠NMK = ∠NME + 90°, ∠PKM = ∠PKF + 90°). Значит, △NMK = △PKM по двум сторонам и углу между ними.

4) Из равенства треугольников следует ∠NKM = ∠PMK.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.