Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если к ним прибавить соответственно 1, 7, 9 и 15, то получим четыре числа, образующие арифметическую прогрессию. Вычисли числа, образующие геометрическую прогрессию.

Пусть четыре числа геометрической прогрессии будут $$b_1, b_2, b_3, b_4$$. Тогда по условию задачи числа $$b_1+1, b_2+7, b_3+9, b_4+15$$ образуют арифметическую прогрессию. Обозначим знаменатель геометрической прогрессии через $$q$$, а разность арифметической прогрессии через $$d$$. Тогда можем записать: $$b_2 = b_1q$$ $$b_3 = b_1q^2$$ $$b_4 = b_1q^3$$ И для арифметической прогрессии: $$b_2 + 7 = b_1 + 1 + d$$ $$b_3 + 9 = b_2 + 7 + d$$ $$b_4 + 15 = b_3 + 9 + d$$ Подставим выражения для $$b_2, b_3, b_4$$ через $$b_1$$ и $$q$$: $$b_1q + 7 = b_1 + 1 + d$$ $$b_1q^2 + 9 = b_1q + 7 + d$$ $$b_1q^3 + 15 = b_1q^2 + 9 + d$$ Выразим $$d$$ из каждого уравнения: $$d = b_1q + 7 - b_1 - 1 = b_1(q-1) + 6$$ $$d = b_1q^2 + 9 - b_1q - 7 = b_1(q^2-q) + 2$$ $$d = b_1q^3 + 15 - b_1q^2 - 9 = b_1(q^3-q^2) + 6$$ Приравняем первое и второе выражения для $$d$$: $$b_1(q-1) + 6 = b_1(q^2-q) + 2$$ $$b_1(q-1 - q^2 + q) = -4$$ $$b_1(2q - q^2 - 1) = -4$$ $$b_1(q^2 - 2q + 1) = 4$$ $$b_1(q-1)^2 = 4$$ (1) Приравняем первое и третье выражения для $$d$$: $$b_1(q-1) + 6 = b_1(q^3-q^2) + 6$$ $$b_1(q-1) = b_1(q^3-q^2)$$ $$q-1 = q^3-q^2$$ $$q^3 - q^2 - q + 1 = 0$$ $$q^2(q-1) - (q-1) = 0$$ $$(q-1)(q^2-1) = 0$$ $$(q-1)(q-1)(q+1) = 0$$ $$(q-1)^2(q+1) = 0$$ Отсюда $$q = 1$$ или $$q = -1$$. Если $$q = 1$$, то из (1) получаем $$b_1(1-1)^2 = 4$$, что невозможно, так как $$0 eq 4$$. Следовательно, $$q eq 1$$. Если $$q = -1$$, то из (1) получаем $$b_1(-1-1)^2 = 4$$, $$b_1(-2)^2 = 4$$, $$4b_1 = 4$$, $$b_1 = 1$$. Тогда геометрическая прогрессия: $$b_1 = 1, b_2 = -1, b_3 = 1, b_4 = -1$$. Проверим: $$b_1+1 = 1+1 = 2$$ $$b_2+7 = -1+7 = 6$$ $$b_3+9 = 1+9 = 10$$ $$b_4+15 = -1+15 = 14$$ Арифметическая прогрессия: $$2, 6, 10, 14$$. Разность $$d = 4$$. Ответ: $$q = -1$$ $$b_1 = 1$$ $$b_2 = -1$$ $$b_3 = 1$$ $$b_4 = -1$$ Ответ: $$q = -1$$; $$b_1 = 1$$; $$b_2 = -1$$; $$b_3 = 1$$; $$b_4 = -1$$.