Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точки F, BF = 12, DF = 9, AB=8. Найдите CD.

Пусть CD = x.

По теореме о секущих, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

BF ⋅ CF = AF ⋅ DF

CF = BC + BF и AF = AD + DF.

Тогда получим:

12 ⋅ (12 + BC) = 9 ⋅ (9 + AD)

Так как ABCD вписан в окружность, то ∠BAD + ∠BCD = 180° и ∠ABC + ∠ADC = 180°.

Рассмотрим треугольники ABF и CDF. У них ∠F общий.

∠ABF = ∠CDF (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Тогда треугольники ABF и CDF подобны по двум углам (∠F общий и ∠ABF = ∠CDF).

Из подобия треугольников следует пропорция:

AB/CD = BF/DF

8/x = 12/9

x = (8 ⋅ 9)/12 = 6

Следовательно, CD = 6.

Ответ: 6