Четырёхугольник ABCD висан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К. BK-8, DK-24, ВС=18. Найдите AD.

Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность, и прямые AB и CD пересекаются в точке K. Тогда выполняется свойство секущих:

$$KA \cdot KB = KC \cdot KD$$

Обозначим AK за x, тогда KA = AB + BK, где BK = 8 по условию. Значит, KA = x + 8.

Аналогично, KD = KC + CD, где DK = 24. Тогда KC = KD - CD.

Но нам дано BC = 18, и мы ищем AD. Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, то можно использовать свойство секущих и касательных, но в данном случае у нас две секущие.

$$KB \cdot KA = KC \cdot KD$$

$$8 \cdot (x + 8) = KC \cdot 24$$

$$KC = \frac{8(x + 8)}{24} = \frac{x + 8}{3}$$

Так как ABCD вписан в окружность, то углы \(\angle\)CBK и \(\angle\)DAK равны (вписанные, опирающиеся на одну дугу).

Рассмотрим треугольники CBK и DAK. Они подобны по двум углам:

• \(\angle\)CBK = \(\angle\)DAK (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу)
• \(\angle\)CKB - общий

Следовательно, \(\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK}\), откуда \(\frac{18}{AD} = \frac{8}{24}\).

Таким образом, \(AD = \frac{18 \cdot 24}{8} = 18 \cdot 3 = 54\)

Ответ: 54