Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Вопрос:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. $\angle ABD = 51^\circ$, $\angle BDA = 49^\circ$, $\angle CAD = 34^\circ$. Найдите градусную меру дуги $BC$, не содержащей точек $A$ и $D$.
Ответ:
Давайте решим эту задачу по геометрии.
1. **Найдем угол $BAD$**: Угол $BAD$ является суммой углов $ABD$ и $BDA$.
$\angle BAD = \angle ABD + \angle BDA = 51^\circ + 49^\circ = 100^\circ$
2. **Найдем угол $BCD$**: Так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Значит,
$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$
3. **Найдем угол $BAC$**: Угол $BAC$ является суммой углов $BAD$ и $CAD$. Значит,
$\angle BAC = \angle CAD = 34^\circ$ (так как $\angle CAD = 34^\circ$)
4. **Найдем угол $BCA$**: Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle ABC = \angle ABD = 51^\circ$
$\angle BCA = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 51^\circ - 34^\circ = 95^\circ$ 5. **Найдем угол $DCA$**: $\angle DCA = \angle BCD - \angle BCA = 80^\circ - 34^\circ - 46^\circ$ $\angle BCD = 80^\circ$
$\angle BCA = \angle BCD - \angle DCA = 80^\circ - 46^\circ = 34^\circ$
6. **Найдем угол $DCA$**: Так как $\angle CAD = 34^\circ$, и углы $CAD$ и $CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$, то $\angle CBD = 34^\circ$. Теперь найдем $\angle ABC$. $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 51^\circ + 34^\circ = 85^\circ$. Тогда $\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BCA)$, но мы не знаем $\angle BCA$ напрямую. 7. **Найдем градусную меру дуги $BC$**: Угол $BAC$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $BC$. Градусная мера дуги равна удвоенному вписанному углу, опирающемуся на эту дугу. Так как $\angle BAC = \angle CAD = 34^\circ$, то $\angle BDC = \angle BAC = 34^\circ$
Так как углы $BAC$ и $BDC$ опираются на дугу $BC$, то $\angle BDC = 34^\circ$. $\angle BCD = 80^\circ$, тогда $\angle BCA = \angle BCD - \angle DCA$. Но $\angle DCA$ опирается на дугу $DA$, а мы не знаем ее градусную меру. Угол $\angle BAD = 100^\circ$, следовательно, дуга $BD = 2 \cdot \angle BAD = 200^\circ$. Угол $\angle BDA = 49^\circ$, значит, дуга $AB = 2 \cdot 49^\circ = 98^\circ$. Вернёмся к углу $BAC = 34^\circ$, следовательно, дуга $BC = 2 \cdot 34^\circ = 68^\circ$. **Ответ**: **68**
$\angle BCA = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 51^\circ - 34^\circ = 95^\circ$ 5. **Найдем угол $DCA$**: $\angle DCA = \angle BCD - \angle BCA = 80^\circ - 34^\circ - 46^\circ$ $\angle BCD = 80^\circ$
$\angle BCA = \angle BCD - \angle DCA = 80^\circ - 46^\circ = 34^\circ$
6. **Найдем угол $DCA$**: Так как $\angle CAD = 34^\circ$, и углы $CAD$ и $CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$, то $\angle CBD = 34^\circ$. Теперь найдем $\angle ABC$. $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 51^\circ + 34^\circ = 85^\circ$. Тогда $\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BCA)$, но мы не знаем $\angle BCA$ напрямую. 7. **Найдем градусную меру дуги $BC$**: Угол $BAC$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $BC$. Градусная мера дуги равна удвоенному вписанному углу, опирающемуся на эту дугу. Так как $\angle BAC = \angle CAD = 34^\circ$, то $\angle BDC = \angle BAC = 34^\circ$
Так как углы $BAC$ и $BDC$ опираются на дугу $BC$, то $\angle BDC = 34^\circ$. $\angle BCD = 80^\circ$, тогда $\angle BCA = \angle BCD - \angle DCA$. Но $\angle DCA$ опирается на дугу $DA$, а мы не знаем ее градусную меру. Угол $\angle BAD = 100^\circ$, следовательно, дуга $BD = 2 \cdot \angle BAD = 200^\circ$. Угол $\angle BDA = 49^\circ$, значит, дуга $AB = 2 \cdot 49^\circ = 98^\circ$. Вернёмся к углу $BAC = 34^\circ$, следовательно, дуга $BC = 2 \cdot 34^\circ = 68^\circ$. **Ответ**: **68**
Похожие
