Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 27°, ∠ABD=61° и ∠BDC=73°. Найдите углы четырёхугольника.

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• ∠DBC = 27°.
• ∠ABD = 61°.
• ∠BDC = 73°.

Найти: углы четырёхугольника ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Решение:

1. Найдем углы, опирающиеся на одну дугу:

• Угол ∠BAC опирается на дугу BC. Угол ∠BDC также опирается на дугу BC. Следовательно, ∠BAC = ∠BDC = 73°.
• Угол ∠CAD опирается на дугу CD. Угол ∠CBD (который является частью ∠DBC) также опирается на дугу CD. Следовательно, ∠CAD = ∠CBD = 27°.
• Угол ∠ACB опирается на дугу AB. Угол ∠ADB также опирается на дугу AB.

2. Найдем полные углы четырёхугольника:

• ∠A: ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.
• ∠B: ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 27° = 88°.
• ∠D: Мы знаем ∠BDC = 73°. Нам нужно найти ∠ADB. Угол ∠ADB опирается на дугу AB. Угол ∠ACB опирается на ту же дугу AB.
• ∠C: Угол ∠C = ∠BCA + ∠ACD.

3. Найдем недостающие углы, используя свойства вписанного четырёхугольника:

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

• ∠A + ∠C = 180° => 100° + ∠C = 180° => ∠C = 180° - 100° = 80°.
• ∠B + ∠D = 180° => 88° + ∠D = 180° => ∠D = 180° - 88° = 92°.

4. Проверим углы, опирающиеся на дуги:

Мы нашли ∠D = 92°. Значит, ∠ADB = ∠D - ∠BDC = 92° - 73° = 19°.

Угол ∠ACB опирается на дугу AB. Угол ∠ADB = 19° опирается на дугу AB. Следовательно, ∠ACB = 19°.

Теперь найдем ∠C. ∠C = ∠ACB + ∠ACD. Нам нужно найти ∠ACD.

Угол ∠ACD опирается на дугу AD. Угол ∠ABD = 61° опирается на дугу AD. Значит, ∠ACD = 61°.

Теперь проверим ∠C: ∠C = ∠ACB + ∠ACD = 19° + 61° = 80°. Это совпадает с ранее найденным значением ∠C = 80°.

Итог:

• ∠A = 100°.
• ∠B = 88°.
• ∠C = 80°.
• ∠D = 92°.

Ответ: ∠A = 100°, ∠B = 88°, ∠C = 80°, ∠D = 92°.