Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что отношение градусных мер дуг равно: AB: BC: CD: DA = 3:2:13:7. Найдите углы данного четырёхугольника. Сопоставьте условие с заключением.

Давайте решим эту задачу вместе. 1. Вспоминаем ключевые понятия: * Вписанный угол: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. * Градусная мера дуги: Градусная мера центрального угла, опирающегося на эту дугу. * Теорема о вписанном угле: Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. * Сумма углов четырехугольника: Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам. 2. Определим градусные меры дуг: Пусть (x) – это коэффициент пропорциональности. Тогда градусные меры дуг будут: * Дуга (AB = 3x) * Дуга (BC = 2x) * Дуга (CD = 13x) * Дуга (DA = 7x) Сумма градусных мер всех дуг окружности равна 360 градусам. Следовательно: \[3x + 2x + 13x + 7x = 360\] \[25x = 360\] \[x = \frac{360}{25} = 14.4\] Теперь найдем градусные меры каждой дуги: * Дуга (AB = 3 \cdot 14.4 = 43.2^{\circ}) * Дуга (BC = 2 \cdot 14.4 = 28.8^{\circ}) * Дуга (CD = 13 \cdot 14.4 = 187.2^{\circ}) * Дуга (DA = 7 \cdot 14.4 = 100.8^{\circ}) 3. Найдем углы четырехугольника: Каждый угол четырехугольника является вписанным углом. Используем теорему о вписанном угле: * Угол (A) опирается на дугу (BCD). Градусная мера дуги (BCD = BC + CD = 28.8 + 187.2 = 216^{\circ}). Следовательно, угол (A = \frac{216}{2} = 108^{\circ}). * Угол (B) опирается на дугу (CDA). Градусная мера дуги (CDA = CD + DA = 187.2 + 100.8 = 288^{\circ}). Следовательно, угол (B = \frac{288}{2} = 144^{\circ}). * Угол (C) опирается на дугу (DAB). Градусная мера дуги (DAB = DA + AB = 100.8 + 43.2 = 144^{\circ}). Следовательно, угол (C = \frac{144}{2} = 72^{\circ}). * Угол (D) опирается на дугу (ABC). Градусная мера дуги (ABC = AB + BC = 43.2 + 28.8 = 72^{\circ}). Следовательно, угол (D = \frac{72}{2} = 36^{\circ}). 4. Ответ: Углы четырехугольника (ABCD) равны: * Угол (A = 108^{\circ}) * Угол (B = 144^{\circ}) * Угол (C = 72^{\circ}) * Угол (D = 36^{\circ}) Сумма углов четырехугольника (ABCD) должна быть равна (360^{\circ}). Проверим: \[108 + 144 + 72 + 36 = 360^{\circ}\] Условие выполняется. Таким образом, градусные меры углов четырехугольника (ABCD) найдены верно. Итоговый ответ: \( \angle A = 108^{\circ}, \angle B = 144^{\circ}, \angle C = 72^{\circ}, \angle D = 36^{\circ} \)