16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 18, DK = 9, BC = 16. Найдите AD.

По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В данном случае, прямые AB и CD пересекаются вне окружности в точке K. Следовательно, можно воспользоваться свойством секущих: KA * KB = KC * KD, где KA = AB + BK и KC = CD + DK. Сначала найдем KA и KC: KA = KB + AB, KC = KD + DC Из условия задачи известно, что BK = 18, DK = 9 и BC = 16. Нам нужно найти AD. По теореме о секущих, имеем: $KB \cdot KA = KD \cdot KC$ $18 \cdot KA = 9 \cdot KC$ Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, то можно применить свойство: $BC \cdot KA = AD \cdot KD$ (следствие из теоремы о секущих) $BK \cdot (BK + BA) = DK \cdot (DK + DC)$ $18(18 + BA) = 9(9 + DC)$ Разделим обе части на 9: $2(18 + BA) = 9 + DC$ $36 + 2BA = 9 + DC$ $DC = 27 + 2BA$ Используем свойство вписанного четырехугольника: $BC \cdot AD = BA \cdot CD$ , т.е. стороны четырехугольника связаны. $BA \cdot (18+AB) = DA \cdot (9 + AD)$ Т.к. ABCD вписанный четырехугольник, то справедливо соотношение: $BK \cdot AK = CK \cdot DK$ $BK \cdot (BK + AB) = DK \cdot (DK + DC)$ $18 \cdot (18 + AB) = 9 \cdot (9 + DC)$ Разделим обе части на 9: $2(18 + AB) = (9 + DC)$ $36 + 2AB = 9 + DC$ $DC = 2AB + 27$ По теореме Птолемея для вписанного четырехугольника ABCD: $AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$ Теперь рассмотрим подобие треугольников BKC и DKA. Углы KBC и KDA равны (вписанные, опираются на одну дугу), углы KCB и KAD равны (вписанные, опираются на одну дугу), угол K общий. Следовательно, треугольники подобны. Тогда: $\frac{BK}{DK} = \frac{BC}{AD}$ $\frac{18}{9} = \frac{16}{AD}$ $2 = \frac{16}{AD}$ $AD = \frac{16}{2}$ $AD = 8$ Ответ: 8