16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке F. BF=40, DF=25, CD=15. Найдите AB.

По теореме о секущихся хордах окружности, произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей, проведенных из той же точки. В данном случае, мы имеем две секущие, проведенные из точки F к окружности. Для секущей FBC, отрезки FB и FC, а для секущей FDA, отрезки FD и FA. Таким образом, справедливо равенство: $$FB \cdot FC = FD \cdot FA$$ Мы знаем, что $$FB = 40$$ и $$DF = 25$$, $$CD = 15$$. Тогда $$FC = FB - BC$$ и $$FA = FD + DA$$. Для нахождения $$AB$$ нам нужно найти $$FA$$ и $$FC$$. С другой стороны, по теореме о произведениях отрезков секущих имеем: $$FB \cdot FC = FA \cdot FD$$. Пусть $$BC = x$$ и $$AD = y$$. Тогда $$FC = 40 - x$$ и $$FA = 25 + y$$. Значит, $$40(40-x) = 25(25+y)$$. Воспользуемся подобием треугольников $$\triangle FCD \sim \triangle FAB$$ (два угла равны: $$\angle F$$ - общий, $$\angle CDF = \angle BAF$$ как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Из подобия следует: $$\frac{FC}{FA} = \frac{CD}{AB} = \frac{FD}{FB}$$ Из $$\frac{FD}{FB} = \frac{CD}{AB}$$ получаем $$\frac{25}{40} = \frac{15}{AB}$$. Отсюда $$AB = \frac{15 \cdot 40}{25} = \frac{600}{25} = 24$$. Ответ: 24