Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 18, DK = 9, BC = 16. Найдите AD.

По свойству секущихся, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

$$BK \cdot KA = DK \cdot KC$$

Мы знаем, что BK = 18 и DK = 9. Обозначим KA = x. Тогда KC = KD + DC. Также мы знаем, что BC = 16.

Т.к. ABCD - вписанный четырехугольник, то углы \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \) в сумме составляют 180 градусов, то есть \( \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \). Также углы \( \angle KBC \) и \( \angle KDA \) равны углам \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \) соответственно.

Углы \( \angle BKA \) и \( \angle DKA \) - общий. Следовательно, треугольники KBC и KDA подобны по двум углам.

Из подобия следует пропорция сторон: $$ \frac{BK}{DK} = \frac{KC}{KA} = \frac{BC}{DA} $$

Подставим известные значения: $$ \frac{18}{9} = \frac{KC}{KA} = \frac{16}{DA} $$

Получаем: $$ 2 = \frac{16}{DA} $$

Отсюда: $$ DA = \frac{16}{2} = 8 $$

Ответ: 8