16. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Прямые AD и ВС пересекаются в точке F, BF=12, DF=9, AB=8. Найдите CD.

По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд, имеем: $$BF \cdot FC = AF \cdot FD$$.

Пусть $$CD = x$$. Тогда $$CF = BC + BF$$ и $$AF = AD + DF$$.

Также, по теореме о произведениях отрезков секущих, выходящих из одной точки к окружности, имеем: $$BF \cdot (BF + BC) = DF \cdot (DF + AD)$$.

Из условия $$BF=12, DF=9, AB=8$$.

Применим теорему о пересекающихся хордах к четырехугольнику ABCD: $$BF \cdot FC = AF \cdot FD$$.

Заметим, что $$BC = FC - BF$$ и $$AD = AF - DF$$.

Тогда, $$BF \cdot (BC+CF) = AF \cdot FD$$

$$12(FC) = FD(AD+DF)$$.

Нужно найти CD, но у нас недостаточно данных для прямого вычисления.

По теореме о секущих $$BF \cdot (BF + BC) = DF \cdot (DF + AD)$$.

Пусть $$BC = a$$, $$AD = b$$. Тогда $$12(12 + a) = 9(9 + b)$$

$$144 + 12a = 81 + 9b$$

$$12a - 9b = -63$$

$$4a - 3b = -21$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABF$$ и $$\triangle CDF$$.

$$\angle ABF = \angle CDF$$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).

$$\angle BFA = \angle DFC$$ (вертикальные углы).

Следовательно, $$\triangle ABF \sim \triangle CDF$$ по двум углам.

Из подобия следует, что $$\frac{AB}{CD} = \frac{BF}{DF}$$.

$$\frac{8}{CD} = \frac{12}{9}$$.

$$CD = \frac{8 \cdot 9}{12} = \frac{72}{12} = 6$$.

Ответ: 6