CK – медиана треугольника ABC, площадь которого 240 см². Точка E – середина медианы CK. Луч AE пересекает сторону BC в точке M. Найдите площадь четырехугольника KEMB.

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание нескольких фактов о медианах треугольника и площадях. 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади. 2. Если медиана разделена пополам, то площади треугольников, образованных от вершины до точки деления медианы и от точки деления до середины стороны, относятся как 1:2:3 3. Теорема Менелая Обозначим площадь треугольника ABC как $$S_{ABC}$$. По условию, $$S_{ABC} = 240$$ см². 1. Так как CK – медиана, то $$S_{ACK} = S_{BCK} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} cdot 240 = 120$$ см². 2. E – середина CK, следовательно, CE = EK. Рассмотрим треугольник ACK. Прямая AE пересекает сторону CK в точке E, а сторону BC – в точке M. Применим теорему Менелая к треугольнику BCK и прямой AM: $$\frac{CE}{EK} \cdot \frac{KA}{AB} \cdot \frac{BM}{MC} = 1$$ Так как CE = EK, то $$\frac{CE}{EK} = 1$$. Так как AK = KB, то $$\frac{KA}{AB} = \frac{1}{2}$$. Подставим эти значения в уравнение Менелая: $$1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{BM}{MC} = 1$$ Отсюда $$\frac{BM}{MC} = 2$$, то есть BM = 2MC. Значит, BC = BM + MC = 2MC + MC = 3MC, и следовательно, MC = $$\frac{1}{3}$$ BC, a BM = $$\frac{2}{3}$$ BC. 3. Теперь найдем отношение площадей треугольников ABM и ABC: $$\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} cdot AB cdot BM cdot sin(\angle B)}{\frac{1}{2} cdot AB cdot BC cdot sin(\angle B)} = \frac{BM}{BC} = \frac{\frac{2}{3}BC}{BC} = \frac{2}{3}$$ Следовательно, $$S_{ABM} = \frac{2}{3} S_{ABC} = \frac{2}{3} cdot 240 = 160$$ см². 4. Рассмотрим треугольник ACK. Площадь треугольника AEK составляет $$\frac{1}{2}$$ площади треугольника ACK, так как EK = $$\frac{1}{2}$$CK, то $$S_{AEK} = \frac{1}{2} S_{ACK} = \frac{1}{2} cdot 120 = 60$$ см². 5. Площадь треугольника AME можно найти, рассмотрев треугольник AMC. Так как MC = $$\frac{1}{3}$$ BC, то $$\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}} = \frac{MC}{BC} = \frac{1}{3}$$, следовательно, $$S_{AMC} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} cdot 240 = 80$$ см². 6. Теперь найдем отношение площадей треугольников AME и ACE. $$\frac{S_{AME}}{S_{ACE}} = \frac{AM}{AC} = \frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}$$ 7. $$S_{AEC} = \frac{1}{2}S_{AKC} = \frac{1}{4}S_{ABC} = 60$$ 8. Площадь четырехугольника KEMB равна площади треугольника ABM минус площадь треугольника AEK: $$S_{KEMB} = S_{BCK} - S_{KEC} - S_{MEC} = 120 - 30 - 20= 70 $$ см² $$S_{MEC} = \frac{1}{6} S_{ABC} = \frac{1}{6} 240 = 40 $$ 9. Так как E - середина медианы CK, то площади треугольников ACE и AKE равны. $$S_{AKE} = \frac{1}{2} S_{AKC} = 60$$ 10. Из этого следует, что $$S_{KEMB} = S_{BCK} - S_{CEK} - S_{MEC} = 120 - 30 -40 = 50 $$ см² Ответ: 50 см²