cos x = 1/2, [0; 3π/2]

Краткое пояснение:

Решаем уравнение cos x = 1/2.

Основными решениями уравнения cos x = 1/2 являются:

• x = π/3 + 2πn
• x = -π/3 + 2πn

где n — любое целое число.

Теперь найдем решения, принадлежащие промежутку [0; 3π/2]:

1. Рассмотрим первую серию решений: x = π/3 + 2πn.
   • При n = 0: x = π/3. Это значение находится в промежутке [0; 3π/2] (так как π/3 ≈ 1.05, а 3π/2 ≈ 4.71).
   • При n = 1: x = π/3 + 2π = 7π/3. Это значение больше 3π/2, поэтому не входит в промежуток.
2. Рассмотрим вторую серию решений: x = -π/3 + 2πn.
   • При n = 0: x = -π/3. Это значение меньше 0, поэтому не входит в промежуток.
   • При n = 1: x = -π/3 + 2π = 5π/3. Это значение находится в промежутке [0; 3π/2] (так как 5π/3 ≈ 5.24, что больше 3π/2 ≈ 4.71, здесь есть ошибка, 5π/3 > 3π/2. Значение 5π/3 не входит в интервал [0; 3π/2] ).

   Пересмотрим вторую серию решений, учитывая, что x должен быть в [0; 3π/2]. Так как -π/3 — это угол в 4-й четверти, нам нужно найти эквивалентный угол в 1-й или 2-й четверти, который также дает косинус 1/2.

   Угол -π/3 соответствует 5π/3 (полный оборот минус π/3), что находится за пределами нашего интервала.

   Давайте проверим значение x = 5π/3. 5π/3 = 10π/6. 3π/2 = 9π/6. Таким образом, 5π/3 действительно больше, чем 3π/2.

   Важно вспомнить, что косинус положителен в 1-й и 4-й четвертях. Наш интервал [0; 3π/2] включает 1-ю, 2-ю и 3-ю четверти.

   В 1-й четверти cos x = 1/2 при x = π/3.

   Во 2-й четверти косинус отрицателен.

   В 3-й четверти косинус отрицателен.

   Итак, единственное решение в данном промежутке — π/3.

   Ответ: π/3