Д2.12. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом следующем - 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее чем 0,98?

Обозначим за $$p_1$$ вероятность уничтожения цели при первом выстреле, $$p_1 = 0.4$$. Вероятность промаха при первом выстреле $$q_1 = 1 - p_1 = 0.6$$. За $$p_i$$ обозначим вероятность уничтожения цели при $$i$$-м выстреле, когда предыдущие $$i-1$$ выстрелов не привели к уничтожению цели. Тогда, согласно условию, начиная со второго выстрела, $$p_i = 0.6$$ для $$i > 1$$. Вероятность того, что цель не будет уничтожена после первого выстрела, равна $$q_1 = 1 - p_1 = 0.6$$. Вероятность того, что цель будет уничтожена после двух выстрелов, равна: $$P_2 = p_1 + q_1 \cdot p_2 = 0.4 + 0.6 \cdot 0.6 = 0.4 + 0.36 = 0.76$$ Вероятность того, что цель не будет уничтожена после двух выстрелов: $$Q_2 = q_1 \cdot q_2 = 0.6 \cdot (1 - 0.6) = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24$$ Вероятность того, что цель будет уничтожена после трех выстрелов, равна: $$P_3 = P_2 + Q_2 \cdot p_3 = 0.76 + 0.24 \cdot 0.6 = 0.76 + 0.144 = 0.904$$ Вероятность того, что цель будет уничтожена после четырех выстрелов, равна: $$P_4 = P_3 + (1 - P_3) \cdot 0.6 = 0.904 + (1 - 0.904) \cdot 0.6 = 0.904 + 0.096 \cdot 0.6 = 0.904 + 0.0576 = 0.9616$$ Вероятность того, что цель будет уничтожена после пяти выстрелов, равна: $$P_5 = P_4 + (1 - P_4) \cdot 0.6 = 0.9616 + (1 - 0.9616) \cdot 0.6 = 0.9616 + 0.0384 \cdot 0.6 = 0.9616 + 0.02304 = 0.98464$$ Поскольку $$P_4 = 0.9616 < 0.98$$ и $$P_5 = 0.98464 > 0.98$$, необходимо 5 выстрелов. Ответ: 5