3. DABC - тетраэдр, 4 DBA = ZDBC=90°, DB=6,AB=BC=8, AC=12. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC. Найти ор

3. DABC - тетраэдр, ∠DBA = ∠DBC = 90°, DB = 6, AB = BC = 8, AC = 12.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC. Найти Sсеч.

Решение:

1) Пусть M - середина DB, значит DM = MB = 3. Через точку M проведем плоскость, параллельную плоскости ADC.

2) Так как плоскость сечения параллельна плоскости ADC, то линия пересечения плоскости сечения с гранью DAB параллельна AD. Проведём MN || AD, N ∈ AB.

3) Аналогично, линия пересечения плоскости сечения с гранью DBC параллельна DC. Проведём MK || DC, K ∈ BC.

4) Соединим точки N и K. NK || AC, так как плоскость сечения параллельна плоскости ADC.

5) Следовательно, сечением тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC, является треугольник MNK.

6) Треугольник DAB прямоугольный, MN || AD, DM = MB, следовательно, MN - средняя линия треугольника DAB. MN = 1/2 AD.

7) Треугольник DBC прямоугольный, MK || DC, DM = MB, следовательно, MK - средняя линия треугольника DBC. MK = 1/2 DC.

8) NK || AC, следовательно, NK - средняя линия треугольника ABC. NK = 1/2 AC.

9) Треугольники MNK и ADC подобны по трём сторонам с коэффициентом подобия k = 1/2. Smnk = k² * Sadc = 1/4 * Sadc.

10) По формуле Герона найдём площадь треугольника ADC:

Пусть AD = a, DC = b, AC = c, p = (a + b + c) / 2 - полупериметр, тогда площадь равна:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

11) По теореме Пифагора:

AD = √(DB² + AB²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

DC = √(DB² + BC²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Тогда:

p = (10 + 10 + 12) / 2 = 16

$$S_{ADC} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48$$

12) Smnk = 1/4 * Sadc = 1/4 * 48 = 12.

Ответ: 12.