4. Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, ребро которого равно 8, точка $$K$$ - середина ребра $$A_1B_1$$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $$K$$ параллельно плоскости $$AB_1D_1$$, и найдите площадь этого сечения.

Привет, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. Анализ условия Нам дан куб с ребром 8, и нужно построить сечение, проходящее через середину ребра $$A_1B_1$$ и параллельное плоскости $$AB_1D_1$$. Затем вычислим площадь этого сечения. 2. Построение сечения * Пусть $$K$$ - середина $$A_1B_1$$. Так как сечение должно быть параллельно плоскости $$AB_1D_1$$, то построим прямую, проходящую через точку $$K$$ и параллельную $$B_1D_1$$. Эта прямая пересечет ребро $$C_1D_1$$ в точке $$L$$, которая также будет серединой этого ребра. * Проведем прямую через $$K$$ параллельно $$AB_1$$. Эта прямая пересечет ребро $$AA_1$$ в точке $$M$$, которая также будет серединой этого ребра. * Соединим точки $$M$$ и $$L$$. * Полученное сечение - это четырехугольник $$MKLD$$, который является параллелограммом, так как $$MK \parallel B_1D_1$$ и $$ML \parallel AB_1$$. 3. Определение вида сечения Поскольку плоскость сечения параллельна плоскости $$AB_1D_1$$, а плоскость $$AB_1D_1$$ наклонена к основанию куба под углом, то сечение также будет иметь наклон. Сечение $$MKLD$$ будет ромбом. Это следует из того, что $$MK = KL = LD = DM$$. 4. Расчет стороны ромба $$MK = \frac{1}{2}AD_1 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$ (так как $$AD_1$$ - диагональ грани куба). 5. Расчет высоты ромба Высота ромба, опущенная из точки $$K$$ на сторону $$ML$$, равна половине ребра куба, то есть 4. 6. Расчет площади сечения Площадь ромба можно найти как произведение стороны на высоту: $$S = MK \cdot h = 4\sqrt{2} \cdot 4 = 16\sqrt{2}$$ Таким образом, площадь сечения равна $$16\sqrt{2}$$. Ответ: Площадь сечения равна $$\mathbf{16\sqrt{2}}$$.