Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаДан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребром, равным $$a$$. Точка $$K$$ принадлежит ребру $$AA_1$$, точка $$L$$ - ребру $$DD_1$$. При этом $$AK : KA_1 = 1 : 3$$, $$D_1L : LD = 2 : 1$$. Проведена прямая $$KL$$. Используя рисунок, ответьте на следующие вопросы: А1. Укажите точку пересечения прямой $$KL$$ и плоскости $$ABD$$. А2. Найдите точку пересечения прямых $$KL$$ и $$A_1D_1$$. A3. Укажите линию пересечения плоскостей $$A_1AD$$ и $$B_1EF$$. В1. Найдите длину отрезка $$C_1L$$. В2. Вычислите длину отрезка $$KL$$. С1. Найдите длину отрезка $$EF$$.
Ответ:
Решение
-
A1: Точка пересечения прямой $$KL$$ и плоскости $$ABD$$ - это точка $$D$$.
-
A2: Точка пересечения прямых $$KL$$ и $$A_1D_1$$ - это точка $$E$$, указанная на рисунке.
-
A3: Линия пересечения плоскостей $$A_1AD$$ и $$B_1EF$$ - это прямая $$A_1E$$, которая лежит в плоскости $$A_1AD$$ и содержит точку $$E$$, лежащую на прямой $$B_1F$$, которая находится в плоскости $$B_1EF$$.
-
B1: Найдем длину отрезка $$C_1L$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$D_1C_1L$$. Из условия $$D_1L : LD = 2 : 1$$, следовательно, $$D_1L = \frac{2}{3}DD_1 = \frac{2}{3}a$$. $$D_1C_1 = a$$, так как это ребро куба. По теореме Пифагора $$C_1L = \sqrt{D_1C_1^2 + D_1L^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{2}{3}a)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{4}{9}a^2} = \sqrt{\frac{13}{9}a^2} = \frac{a\sqrt{13}}{3}$$.
Ответ: $$C_1L = \frac{a\sqrt{13}}{3}$$.
-
B2: Вычислим длину отрезка $$KL$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KDL$$. $$AK = \frac{1}{4}AA_1 = \frac{1}{4}a$$, значит $$A_1K = \frac{3}{4}a$$. Тогда $$KD = \sqrt{AD^2 + AK^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{1}{4}a)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{1}{16}a^2} = \sqrt{\frac{17}{16}a^2} = \frac{a\sqrt{17}}{4}$$. $$DL = \frac{1}{3}DD_1 = \frac{1}{3}a$$. $$KL = \sqrt{KD^2 + DL^2} = \sqrt{(\frac{a\sqrt{17}}{4})^2 + (\frac{1}{3}a)^2} = \sqrt{\frac{17}{16}a^2 + \frac{1}{9}a^2} = \sqrt{\frac{153+16}{144}a^2} = \sqrt{\frac{169}{144}a^2} = \frac{13}{12}a$$.
Ответ: $$KL = \frac{13}{12}a$$.
-
C1: Найдем длину отрезка $$EF$$. Заметим, что точка $$E$$ делит $$A_1A$$ в отношении $$3:1$$, то есть $$AE = \frac{1}{4}a$$. Аналогично точка $$F$$ делит $$DD_1$$ в отношении $$1:2$$, то есть $$DF = \frac{1}{3}a$$. Можно представить, что точка $$E$$ лежит на продолжении ребра $$A_1A$$, а точка $$F$$ - на продолжении ребра $$DD_1$$. Из рисунка видно, что $$EF$$ - это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны $$ED$$ и $$DF$$. Рассмотрим треугольник $$A_1ED_1$$. Он прямоугольный, и $$A_1D_1 = a$$. Тогда $$ED = A_1D_1 = a + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{12+3+4}{12} = \frac{19}{12}a$$.
Ответ: $$EF = \sqrt{(\frac{1}{3}a)^2} + (\frac{19}{12}a)^2 = \frac{1}{9}a^2 + \frac{361}{144}a^2 = \frac{16 + 361}{144} a^2 = \frac{377}{144} a^2$$.
Похожие
