1. Дан куб АВCDA₁B₁C₁D₁ площади поверхности 96. Укажите неверное утверждение. а) Расстояние от прямой DC₁ до плос- кости АА₁В₁В равно 4; б) прямые ВС и DC₁ перпендикуляр- ны; в) угол между прямой DC₁ и плоскостью АА₁С₁С равен 30°; г) угол между плоскостями ADC₁ и АА₁В₁В равен 45°.

Ответ: а)

1. Площадь поверхности куба равна 6a², где a - длина ребра. Из условия задачи площадь поверхности равна 96, следовательно, можем найти длину ребра куба: \[6a^2 = 96\] \[a^2 = 16\] \[a = 4\]
2. Рассмотрим утверждения:
   • а) Расстояние от прямой DC₁ до плоскости AA₁B₁B равно 4. Так как длина ребра куба равна 4, а прямая DC₁ параллельна плоскости AA₁B₁B и находится на расстоянии ребра куба от нее, то это утверждение верно.
   • б) Прямые BC и DC₁ перпендикулярны. Так как ABCD - квадрат, BC перпендикулярна DC. DC₁ - наклонная к плоскости ABCD. Следовательно, угол BCD₁ не прямой, и утверждение неверно.
   • в) Угол между прямой DC₁ и плоскостью AA₁C₁C равен 30°. Этот угол можно найти, рассмотрев треугольник DC₁C. Угол DC₁C равен 45°, что не соответствует условию. Утверждение неверно.
   • г) Угол между плоскостями ADC₁ и AA₁B₁B равен 45°. Этот угол можно найти, рассмотрев угол между прямой AD и ее проекцией на плоскость AA₁B₁B, который равен 45°. Утверждение верно.

Ответ: а)