Дан квадрат ABCD со стороной √2. Точка O — точка пересечения диагоналей. OE — отрезок, перпендикулярный плоскости квадрата ABCD и OE = 6. Найдите косинус угла между плоскостями BCE и DEC. В ответе укажите значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73.

Давай решим эту задачу вместе! 1. Визуализация и основные элементы Представим себе квадрат $$ABCD$$ со стороной, равной $$\sqrt{2}$$. Точка $$O$$ – это центр квадрата (пересечение диагоналей). У нас есть отрезок $$OE$$, перпендикулярный плоскости квадрата, и его длина равна 6. 2. Анализ плоскостей и угла Нам нужно найти косинус угла между плоскостями $$BCE$$ и $$DEC$$. Чтобы это сделать, нужно найти линейный угол между этими плоскостями. Для этого проведем перпендикуляры к линии пересечения плоскостей $$BCE$$ и $$DEC$$ (то есть к прямой $$EC$$). 3. Построение перпендикуляров * Пусть $$M$$ – середина стороны $$DC$$. Тогда $$BM$$ перпендикулярна $$EC$$ (так как треугольник $$BEC$$ равнобедренный, и $$BM$$ является медианой, а значит, и высотой). * Аналогично, пусть $$N$$ – середина стороны $$BC$$. Тогда $$DN$$ перпендикулярна $$EC$$. * Таким образом, угол между $$BM$$ и $$DN$$ – это линейный угол между плоскостями $$BCE$$ и $$DEC$$. 4. Нахождение длин отрезков * Сторона квадрата $$AB = BC = CD = DA = \sqrt{2}$$. * $$OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{AB^2 + BC^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} = 1$$. * $$EC = \sqrt{OE^2 + OC^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$$. * $$MC = \frac{1}{2}DC = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. * $$BM = \sqrt{BC^2 + MC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{2 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$. 5. Нахождение косинуса угла Рассмотрим треугольник $$BMD$$. Мы хотим найти косинус угла между $$BM$$ и $$DM$$, который равен косинусу угла $$BMN$$ (где N - середина BC). Пусть $$\alpha$$ - искомый угол между плоскостями $$BCE$$ и $$DEC$$. Тогда $$\cos(\alpha) = \frac{MN^2 - BM^2 - DN^2}{2 \cdot BM \cdot DN}$$. Так как $$BM = DN$$, то $$\cos(\alpha) = \frac{MN^2 - 2BM^2}{-2BM^2}$$. $$MN = BC = \sqrt{2}$$. $$\cos(\alpha) = \frac{(\sqrt{2})^2 - 2(\frac{\sqrt{10}}{2})^2}{-2(\frac{\sqrt{10}}{2})^2} = \frac{2 - 2(\frac{10}{4})}{-2(\frac{10}{4})} = \frac{2 - 5}{-\frac{10}{2}} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5} = 0.6$$. 6. Умножение на 73 В ответе просят указать значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73. $$0.6 \cdot 73 = 43.8$$ Ответ: 43.8