Дан квадратный трёхчлен $$\frac{1}{4}x^2 + 2x - 1$$. Определите, при каком значении $$x$$ он принимает наименьшее значение и найдите это значение.

Чтобы найти наименьшее значение квадратного трёхчлена $$\frac{1}{4}x^2 + 2x - 1$$, нужно найти вершину параболы, которую он задаёт. Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен ($$\frac{1}{4} > 0$$), ветви параболы направлены вверх, и вершина будет соответствовать минимальному значению функции.

Координата $$x$$ вершины параболы $$ax^2 + bx + c$$ находится по формуле $$x_в = -\frac{b}{2a}$$. В нашем случае $$a = \frac{1}{4}$$ и $$b = 2$$, поэтому:

$$x_в = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4$$

Теперь найдем значение функции в этой точке, то есть значение $$y$$ вершины параболы:

$$y_в = \frac{1}{4}(-4)^2 + 2(-4) - 1 = \frac{1}{4}(16) - 8 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$$

Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена достигается при $$x = -4$$, и это значение равно $$-5$$.

Ответ: Наименьшее значение достигается при x = -4, и это значение равно -5.