Дан отрезок АВ. Напишите, что является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. Постройте это геометрическое место точек. Докажите что любая точка, принадлежащая вашему построению равноудалена от концов отрезка.

1. Определение серединного перпендикуляра:

   Серединный перпендикуляр к отрезку - это прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

2. Построение:

   Чтобы построить серединный перпендикуляр, нужно найти середину отрезка АВ (точку М) и провести через неё прямую, перпендикулярную АВ.

3. Доказательство:

   • Пусть точка С лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

   • Рассмотрим треугольники АМС и ВМС, где М - середина АВ.

   • Тогда АМ = ВМ (по определению середины), угол АМС = угол ВМС = 90° (по определению перпендикуляра), и СМ - общая сторона.

   • Следовательно, треугольники АМС и ВМС равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

   • Из равенства треугольников следует, что АС = ВС, то есть точка С равноудалена от концов отрезка АВ.

4. Вывод:

   Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Ответ: Геометрическим местом точек является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.