1) Дан параллелограмм ABCD. Точка М принадлежит AD, AM=5 см, MD=4 см, угол АВМ= 60 градусам, сторона CD=5 см. Найти периметр параллелограмма и его углы. 2) Найти углы прямоугольной трапеции, если один из её углов равен 20 градусов. 3) На рисунке ABCD – ромб, угол АВС=140 градусов. Найдите углы треугольника COD. 4) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найти периметр треугольника ВОС, если АВ-8 см, ВС=11 см, BD=14 см.

В параллелограмме ABCD:

• AM = 5 см
• MD = 4 см
• CD = 5 см
• ∠ABM = 60°

Найти периметр параллелограмма и его углы.

Решение:

AD = AM + MD = 5 + 4 = 9 см

BC = AD = 9 см (противоположные стороны параллелограмма)

AB = CD = 5 см (противоположные стороны параллелограмма)

Периметр P = 2 * (AB + AD) = 2 * (5 + 9) = 2 * 14 = 28 см

∠A + ∠B = 180° (сумма углов, прилежащих к одной стороне)

∠ABM = 60°

∠MBC + ∠ABM = ∠ABC

∠ABC = ∠ADC (противоположные углы параллелограмма)

Рассмотрим треугольник ABM. Сумма углов треугольника равна 180°.

∠A + ∠B + ∠M = 180°

$$\frac{AM}{\sin{\angle ABM}} = \frac{AB}{\sin{\angle AMB}}$$

$$\frac{5}{\sin{60}} = \frac{5}{\sin{\angle AMB}}$$

$$\sin{\angle AMB} = \sin{60}$$

$$\angle AMB = 60°$$

В треугольнике ABM: ∠A = 180 - 60 - 60 = 60°

∠A = ∠C = 60°

∠B = ∠D = 180° - 60° = 120°

В прямоугольной трапеции один из углов равен 20°. Найти углы трапеции.

Решение:

В прямоугольной трапеции два угла равны 90°.

Пусть ∠A = 90°, ∠B = 90°, ∠C = 20°.

∠D = 360° - (90° + 90° + 20°) = 360° - 200° = 160°

Ответ: 90°, 90°, 20°, 160°.

В ромбе ABCD угол ABC = 140°. Найти углы треугольника COD.

Решение:

В ромбе ABCD диагонали являются биссектрисами углов.

∠ABC = 140°

∠BCD = 180° - 140° = 40°

∠OCD = ∠BCD / 2 = 40° / 2 = 20°

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

∠COD = 90°

В треугольнике COD: ∠COD + ∠ODC + ∠OCD = 180°

∠ODC = 180° - 90° - 20° = 70°

Ответ: ∠COD = 90°, ∠ODC = 70°, ∠OCD = 20°.

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найти периметр треугольника BOC, если AB = 8 см, BC = 11 см, BD = 14 см.

Решение:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

BD = AC = 14 см

BO = OC = BD / 2 = 14 / 2 = 7 см

Периметр треугольника BOC: P = BO + OC + BC = 7 + 7 + 11 = 25 см

Ответ: 25 см.