5. Дан правильный девятиугольник А₁А₂...А₉, точка О. является его центром. Докажите, что треугольники А₁ОА₂ и А₂ОА₃ равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( A_1OA_2 \) и \( A_2OA_3 \).

1. Так как девятиугольник правильный, все его стороны равны, следовательно, \( A_1A_2 = A_2A_3 \).

2. Точка O — центр девятиугольника, следовательно, отрезки, соединяющие центр с вершинами, являются радиусами описанной окружности, и \( OA_1 = OA_2 = OA_3 \).

3. Угол между радиусами, проведенными к соседним вершинам правильного девятиугольника, равен \( \frac{360^\circ}{9} = 40^\circ \). Следовательно, \( \angle A_1OA_2 = \angle A_2OA_3 = 40^\circ \).

Таким образом, треугольники \( A_1OA_2 \) и \( A_2OA_3 \) имеют две равные стороны (\( OA_1 = OA_2 \) и \( OA_2 = OA_3 \)) и равные углы между ними (\( \angle A_1OA_2 = \angle A_2OA_3 \)).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники \( A_1OA_2 \) и \( A_2OA_3 \) равны.