Дан правильный треугольник ABC. На нём отмечены и соединены серединные точки всех сторон. Затем для треугольника A₁B₁C₁ снова отметили и соединили серединные точки всех сторон. Так делали n раз. Определите площадь треугольника A₄B₄C₄, если сторона треугольника ABC равна 16 дм.

При соединении середин сторон образуется новый равносторонний треугольник со стороной вдвое меньше стороны предыдущего.

Четыре последовательных построения дают сторону треугольника A₄B₄C₄:

\(16 : 2^4 = 1\) дм.

Площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

\(S_{A_4B_4C_4} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}\) дм².

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) дм².