Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), в котором \(AB=6\), \(BC=5\), \(AA_1=10\). Найти угол между прямыми \(AB\) и \(D_1E\), где \(E\) — середина \(AC\).

Зададим координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(6;0;0)\), \(C(6;5;0)\), \(D(0;5;0)\), \(D_1(0;5;10)\). Тогда середина диагонали \(AC\) имеет координаты \(E(3;2.5;0)\).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AB}=(6;0;0)\), \(\overrightarrow{D_1E}=(3;-2.5;-10)\). Для угла между прямыми берём острый угол, поэтому используем модуль скалярного произведения.

\(\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{D_1E}|}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{D_1E}|}=\frac{18}{6\sqrt{3^2+(-2.5)^2+(-10)^2}}=\frac{6}{\sqrt{125.25}}=\frac{4}{\sqrt{139}}\).

Следовательно, \(\varphi=\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{139}}\right)\approx70.2^\circ\).

Ответ: \(\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{139}}\right)\approx70.2^\circ\).