Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и высотой CH. Введем обозначения: AB = c, BC = a, CA = b, CH = h, AH = bc, BH = a. Заполните пустые клетки таблицы.

Заполним пустые клетки таблицы, используя свойства прямоугольного треугольника и теоремы о средних пропорциональных отрезках.

Решение 1:

Дано: c = a_c + b_c = 3 + 6 = 9

$$a^2 = a_c \cdot c = 3 \cdot 9 = 27, \text{ отсюда } a = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$

$$b^2 = b_c \cdot c = 6 \cdot 9 = 54, \text{ отсюда } b = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$$

$$h^2 = a_c \cdot b_c = 3 \cdot 6 = 18, \text{ отсюда } h = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Решение 2:

Дано: b_c = c - a_c = 9 - 5 = 4

$$b^2 = c \cdot b_c = 9 \cdot 4 = 36, \text{ отсюда } b = \sqrt{36} = 6$$

$$a^2 = c \cdot a_c = 9 \cdot 5 = 45, \text{ отсюда } a = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

$$h^2 = a_c \cdot b_c = 5 \cdot 4 = 20, \text{ отсюда } h = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Решение 3:

Дано: $$a^2 = a_c \cdot c$$, отсюда $$c = \frac{a^2}{a_c} = \frac{16}{3}$$, $$b_c = c - a_c = \frac{16}{3} - 3 = \frac{16}{3} - \frac{9}{3} = \frac{7}{3}$$

$$b^2 = b_c \cdot c = \frac{7}{3} \cdot \frac{16}{3} = \frac{112}{9}, \text{ отсюда } b = \sqrt{\frac{112}{9}} = \frac{4\sqrt{7}}{3}$$

$$h^2 = a_c \cdot b_c = 3 \cdot \frac{7}{3} = 7, \text{ отсюда } h = \sqrt{7}$$

Решение 4:

Дано: $$h^2 = a_c \cdot b_c$$, отсюда $$a_c = \frac{h^2}{b_c} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5$$, $$c = a_c + b_c = 4.5 + 8 = 12.5$$

$$a^2 = a_c \cdot c = 4.5 \cdot 12.5 = 56.25, \text{ отсюда } a = \sqrt{56.25} = 7.5$$

$$b^2 = b_c \cdot c = 8 \cdot 12.5 = 100, \text{ отсюда } b = \sqrt{100} = 10$$

Решение 5:

Дано: a = 5, b = 12

По теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \text{ отсюда } c = \sqrt{169} = 13$$

$$a^2 = a_c \cdot c, \text{ отсюда } a_c = \frac{a^2}{c} = \frac{25}{13}$$, $$b_c = c - a_c = 13 - \frac{25}{13} = \frac{169 - 25}{13} = \frac{144}{13}$$

$$h^2 = a_c \cdot b_c = \frac{25}{13} \cdot \frac{144}{13} = \frac{3600}{169}, \text{ отсюда } h = \sqrt{\frac{3600}{169}} = \frac{60}{13}$$

	ac	bc	a	b	c	h
1	3	6	$$3\sqrt{3}$$	$$3\sqrt{6}$$	9	$$3\sqrt{2}$$
2	5	4	$$3\sqrt{5}$$	6	9	$$2\sqrt{5}$$
3	3	$$\frac{7}{3}$$	4	$$\frac{4\sqrt{7}}{3}$$	$$\frac{16}{3}$$	$$\sqrt{7}$$
4	4.5	8	7.5	10	12.5	6
5	$$\frac{25}{13}$$	$$\frac{144}{13}$$	5	12	13	$$\frac{60}{13}$$