Дан прямоугольный треугольный треугольник ABC (∠ABC = 90°). Гипотенуза AC = 13 см, катет BC = 5 см. Отрезок SA = 12 см, перпендикулярен плоскости (ABC). Найти длину вектора |AS + SC + CB| и угол между прямой SB и плоскостью (ABC). Также необходимо найти угол ∠SBC, найти угол и расстояние между прямыми BC и SA, найти величину двугранного угла между плоскостями (ASB) и (ASC) (рис. 1).

Начнем с решения задачи поэтапно: 1. Нахождение длины вектора |AS + SC + CB| Сначала упростим векторное выражение, используя правило сложения векторов: $$\vec{AS} + \vec{SC} + \vec{CB} = \vec{AS} + \vec{SB}$$ Так как $$\vec{AS} + \vec{SC} = \vec{AC}$$, тогда $$\vec{AS} + \vec{SC} + \vec{CB} = \vec{AC} + \vec{CB}$$. Но $$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$$. Теперь найдём длину вектора AB, используя теорему Пифагора для треугольника ABC: $$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$ Таким образом, длина вектора равна длине отрезка AB. $$|\vec{AS} + \vec{SC} + \vec{CB}| = |\vec{AB}| = 12 \text{ см}$$ Ответ: Длина вектора |AS + SC + CB| равна 12 см. 2. Нахождение угла между прямой SB и плоскостью (ABC) Угол между прямой SB и плоскостью (ABC) – это угол между SB и её проекцией на эту плоскость. Так как SA перпендикулярна плоскости (ABC), проекцией SB на эту плоскость является AB. Значит, искомый угол – это угол между SB и AB, то есть ∠SBA. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAB (∠SAB = 90°). Чтобы найти угол ∠SBA, воспользуемся тангенсом: $$\tan(\angle SBA) = \frac{SA}{AB} = \frac{12}{12} = 1$$ Следовательно, ∠SBA = arctan(1) = 45°. Ответ: Угол между прямой SB и плоскостью (ABC) равен 45°. 3. Нахождение угла ∠SBC Рассмотрим треугольник SBC. Чтобы найти угол ∠SBC, воспользуемся теоремой косинусов, но сначала найдем длину SB и SC. В прямоугольном треугольнике SAB: $$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \text{ см}$$ В прямоугольном треугольнике SAC: $$SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 13^2} = \sqrt{144 + 169} = \sqrt{313} \text{ см}$$ Теперь используем теорему косинусов для треугольника SBC: $$SC^2 = SB^2 + BC^2 - 2 \cdot SB \cdot BC \cdot \cos(\angle SBC)$$ $$313 = 288 + 25 - 2 \cdot 12\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos(\angle SBC)$$ $$313 = 313 - 120\sqrt{2} \cdot \cos(\angle SBC)$$ $$0 = - 120\sqrt{2} \cdot \cos(\angle SBC)$$ $$\cos(\angle SBC) = 0$$ Следовательно, ∠SBC = 90°. Ответ: Угол ∠SBC равен 90°. 4. Нахождение угла и расстояния между прямыми BC и SA Поскольку SA перпендикулярна плоскости (ABC), а BC лежит в этой плоскости, SA перпендикулярна BC. Следовательно, угол между прямыми BC и SA равен 90°. Расстояние между скрещивающимися прямыми BC и SA равно длине отрезка AB, так как AB перпендикулярна BC (по условию) и SA перпендикулярна плоскости ABC, значит, AB – общий перпендикуляр к BC и SA. Таким образом, расстояние между BC и SA равно AB = 12 см. Ответ: Угол между прямыми BC и SA равен 90°, расстояние между ними равно 12 см. 5. Нахождение величины двугранного угла между плоскостями (ASB) и (ASC) Двугранный угол между плоскостями (ASB) и (ASC) – это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения AS в этих плоскостях. Поскольку SA перпендикулярна плоскости (ABC), а AB и AC лежат в этой плоскости, углом между плоскостями (ASB) и (ASC) является угол ∠BAC. Чтобы найти угол ∠BAC, воспользуемся косинусом: $$\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{13}$$ Следовательно, ∠BAC = arccos(12/13). Ответ: Величина двугранного угла между плоскостями (ASB) и (ASC) равна arccos(12/13). Ответы: * Длина вектора |AS + SC + CB| равна 12 см. * Угол между прямой SB и плоскостью (ABC) равен 45°. * Угол ∠SBC равен 90°. * Угол между прямыми BC и SA равен 90°, расстояние между ними равно 12 см. * Величина двугранного угла между плоскостями (ASB) и (ASC) равна arccos(12/13).