Дан равносторонний треугольник ABC со стороной AB = 2, AM - его медиана. Найдите скалярное произведение векторов AB и AM.

Треугольник ABC равносторонний, значит, все его углы равны 60°. AM - медиана, следовательно, она является и высотой, и биссектрисой. Угол BAM равен половине угла BAC, то есть 30°.

Длина медианы AM может быть найдена по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABM: \[AM = \sqrt{AB^2 - BM^2}\] Так как BM = 1 (медиана делит сторону BC пополам), то \[AM = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}\]

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и AM: \[\vec{AB} \cdot \vec{AM} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AM}| \cdot \cos{\angle BAM}\] Подставляем значения: \[\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos{30^\circ} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\]

Ответ: 3