Дан равносторонний треугольник. В нём выбирают случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри окружности, вписанной в этот треугольник?

Площадь равностороннего треугольника \(S_{\text{треуг}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\), радиус вписанной окружности \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\). Площадь вписанной окружности \(S_{\text{округ}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{12}\). Вероятность \(P = \frac{S_{\text{округ}}}{S_{\text{треуг}}} = \frac{\frac{\pi a^2}{12}}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \approx 0.604\). Ответ: \(0.604\).