Дан треугольник МКР. На стороне МК отмечена точка Т так, что МТ= 5 см, КТ = 10 см. Найдите площади треугольников МРТ и КРТ, если МР = 12 см, КР = 9 см.

Решение:

Дано:

\( \triangle MKP \), T — точка на MK.

\( MT = 5 \) см, \( KT = 10 \) см.

\( MP = 12 \) см, \( KP = 9 \) см.

Найти:

\( S_{MPT} \), \( S_{KPT} \).

1. Сторона \( MK = MT + KT = 5 + 10 = 15 \) см.

2. Треугольники MPT и KPT имеют общую высоту, опущенную из вершины P на сторону MK.

3. Отношение площадей треугольников с равной высотой равно отношению их оснований:

\( \frac{S_{MPT}}{S_{KPT}} = \frac{MT}{KT} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).

\( S_{KPT} = 2 S_{MPT} \).

4. Площадь всего треугольника \( S_{MKP} = S_{MPT} + S_{KPT} = S_{MPT} + 2 S_{MPT} = 3 S_{MPT} \).

5. Найдем площадь \( \triangle MKP \) по формуле Герона. Полупериметр \( p = \frac{MK + KP + MP}{2} = \frac{15 + 9 + 12}{2} = \frac{36}{2} = 18 \) см.

6. \( S_{MKP} = \sqrt{p(p-MK)(p-KP)(p-MP)} \)

\( S_{MKP} = \sqrt{18(18-15)(18-9)(18-12)} \)

\( S_{MKP} = \sqrt{18 · 3 · 9 · 6} = \sqrt{(2 · 9) · 3 · 9 · (2 · 3)} = \sqrt{2^2 · 3^2 · 9^2} = 2 · 3 · 9 = 54 \) см².

7. Теперь найдем площади \( S_{MPT} \) и \( S_{KPT} \).

\( S_{MKP} = 3 S_{MPT} \), значит \( S_{MPT} = \frac{S_{MKP}}{3} = \frac{54}{3} = 18 \) см².

\( S_{KPT} = 2 S_{MPT} = 2 · 18 = 36 \) см².

Ответ: Площадь треугольника МРТ равна 18 см², площадь треугольника КРТ равна 36 см².