Дан угол САВ. Напишите, что является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла. Постройте это геометрическое место точек. Докажите что любая точка, принадлежащая вашему построению равноудалена от сторон угла.

1. Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла.
2. Построение биссектрисы:
   • Из вершины угла (точка А) проводим окружность произвольного радиуса.
   • Отмечаем точки пересечения окружности со сторонами угла (точки B и C).
   • Из точек B и C проводим две окружности одинакового радиуса, большего половины расстояния между B и C.
   • Отмечаем точку пересечения этих окружностей (точка D).
   • Проводим луч из вершины угла (точка А) через точку D. Этот луч и будет биссектрисой угла.
3. Доказательство:
   • Пусть точка M лежит на биссектрисе угла CAB. Опустим перпендикуляры MP и MQ на стороны AB и AC соответственно.
   • Рассмотрим треугольники AMP и AMQ. У них:
   • Угол PAM равен углу QAM (так как AM – биссектриса).
   • Угол APM равен углу AQM (оба угла прямые).
   • Сторона AM – общая.
   • Следовательно, треугольники AMP и AMQ равны по гипотенузе и острому углу.
   • Из равенства треугольников следует, что MP = MQ, то есть точка M равноудалена от сторон угла.

Ответ: Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, является биссектриса этого угла. Любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла.