Дана булева функция, определенная таблицей истинности. Необходимо выразить функции $$X \land Y$$ и $$X \lor Y$$ используя только заданную булеву функцию, для которой таблица истинности следующая: | X | Y | X?Y | |---|---| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | Пример: $$X \lor Y$$ можно выразить как $$(X \oplus Y) \oplus (X \land Y)$$, используя только $$X \oplus Y$$ и $$X \land Y$$ .

Давай сначала разберемся с заданной булевой функцией. Из таблицы истинности видно, что эта функция эквивалентна операции XOR с инверсией результата (XNOR). Обозначим эту функцию как $$X \odot Y$$, где $$odot$$ обозначает операцию XNOR. $$X \odot Y = \overline{X \oplus Y}$$ Наша задача - выразить логические операции И (AND) и ИЛИ (OR) через XNOR. 1. Выражение для $$X \land Y$$: Заметим, что $$X \odot X = \overline{X \oplus X} = \overline{0} = 1$$, если X = 0, и $$X \odot X = \overline{X \oplus X} = \overline{0} = 1$$, если X = 1. Тогда $$X \odot Y = \overline{X \oplus Y} = \overline{X \overline{Y} + \overline{X}Y}$$. Из таблицы истинности видно, что функция равна 0 только когда X=1 и Y=1. Если мы применим функцию к результату еще раз, то получим следующее выражение для $$X \land Y$$: $$X \land Y = (X \odot Y) \odot (X \odot Y)$$ Пояснение: $$X \odot Y$$ равно 1, если X и Y не равны, и 0, если X и Y равны. Если применить эту же операцию еще раз к результату, то результат будет равен 0, если оба значения (X и Y) равны 1, и 1 в остальных случаях. Если мы снова применим операцию к результату, получим $$X \land Y$$. Итоговое выражение: $$X \land Y = (X \odot Y) \odot (X \odot Y)$$ 2. Выражение для $$X \lor Y$$: Мы знаем, что $$X \lor Y = \overline{\overline{X} \land \overline{Y}}$$. Выразим $$\overline{X}$$ через нашу функцию: $$\overline{X} = X \odot 1$$ Тогда, чтобы выразить $$X \lor Y$$ через нашу функцию, можно использовать закон Де Моргана: $$X \lor Y = \overline{\overline{X} \land \overline{Y}} = ( (X \odot 1) \land (Y \odot 1) ) \odot ( (X \odot 1) \land (Y \odot 1) )$$ Учитывая выражение для $$X \land Y$$: $$X \lor Y = (((X \odot 1) \odot (Y \odot 1)) \odot ((X \odot 1) \odot (Y \odot 1))) \odot (((X \odot 1) \odot (Y \odot 1)) \odot ((X \odot 1) \odot (Y \odot 1)))$$ В итоге: $$\boxed{X \land Y = (X \odot Y) \odot (X \odot Y)}$$ $$\boxed{X \lor Y = (((X \odot 1) \odot (Y \odot 1)) \odot ((X \odot 1) \odot (Y \odot 1))) \odot (((X \odot 1) \odot (Y \odot 1)) \odot ((X \odot 1) \odot (Y \odot 1)))}$$