Дана функция ( f(x) = |4 - \frac{12}{x-4}| ). 1) Постройте график функции ( y = f(x) ). 2) При каких значениях ( c ) уравнение ( f(x) = c ) имеет ровно одно решение?

Разберем задачу по шагам. 1. Построение графика функции ( y = f(x) ) Функция ( f(x) = |4 - \frac{12}{x-4}| ) представляет собой модуль функции. Чтобы построить график, сначала рассмотрим функцию ( g(x) = 4 - \frac{12}{x-4} ), а затем применим модуль. * Функция ( g(x) = 4 - \frac{12}{x-4} ) * Это гипербола, смещенная по горизонтали на 4 единицы вправо и по вертикали на 4 единицы вверх. * Асимптоты: ( x = 4 ) (вертикальная) и ( y = 4 ) (горизонтальная). * Чтобы построить график, найдем несколько точек: * Если ( x = -2 ), то ( g(-2) = 4 - \frac{12}{-2-4} = 4 - \frac{12}{-6} = 4 + 2 = 6 ). * Если ( x = 0 ), то ( g(0) = 4 - \frac{12}{0-4} = 4 - \frac{12}{-4} = 4 + 3 = 7 ). * Если ( x = 2 ), то ( g(2) = 4 - \frac{12}{2-4} = 4 - \frac{12}{-2} = 4 + 6 = 10 ). * Если ( x = 6 ), то ( g(6) = 4 - \frac{12}{6-4} = 4 - \frac{12}{2} = 4 - 6 = -2 ). * Если ( x = 8 ), то ( g(8) = 4 - \frac{12}{8-4} = 4 - \frac{12}{4} = 4 - 3 = 1 ). * Применение модуля ( f(x) = |g(x)| ) * Все значения ( g(x) ), которые находятся ниже оси ( x ), отображаются симметрично вверх относительно оси ( x ). * Таким образом, часть графика, где ( g(x) < 0 ), отражается вверх. 2. Определение значений ( c ), при которых уравнение ( f(x) = c ) имеет ровно одно решение Уравнение ( f(x) = c ) имеет ровно одно решение, когда горизонтальная прямая ( y = c ) пересекает график функции ( f(x) ) ровно в одной точке. * Рассмотрим асимптоту ( y = 4 ) функции ( g(x) ). После применения модуля, часть графика отражается вверх. Горизонтальная прямая ( y = c ) будет иметь только одну точку пересечения с графиком ( f(x) ), если ( c = 4 ) или ( c = 10 ). * При ( c = 4 ), прямая ( y = 4 ) пересекает график функции ( f(x) ) в одной точке вблизи вертикальной асимптоты ( x = 4 ). * Когда ( g(x) = 0 ), то ( 4 - \frac{12}{x-4} = 0 ), следовательно, ( \frac{12}{x-4} = 4 ), откуда ( x - 4 = 3 ), и ( x = 7 ). Тогда ( f(7) = |4 - \frac{12}{7-4}| = |4 - 4| = 0 ). * Отразим точку, где ( g(x) = -c ), где корень уравнения равен ( 10 ). Визуализировал примерный график функции для наглядности. В данном случае, точное построение требует большего количества точек и учета асимптот. Ответ: Уравнение ( f(x) = c ) имеет ровно одно решение при ( c = 4 ) и ( c = 10 ).