Дана функция f(x) = |\frac{8}{x+2} - 4|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Решение: 1) Построим график функции $$y = f(x) = |\frac{8}{x+2} - 4|$$. Сначала рассмотрим функцию $$y = \frac{8}{x+2}$$. Это гипербола, смещенная на 2 единицы влево относительно графика $$y = \frac{8}{x}$$. Теперь рассмотрим функцию $$y = \frac{8}{x+2} - 4$$. Это гипербола, смещенная на 2 единицы влево и на 4 единицы вниз. Затем применим модуль: $$y = |\frac{8}{x+2} - 4|$$. Это означает, что все части графика, находящиеся ниже оси x, отражаются симметрично вверх относительно оси x. Определим асимптоты графика функции $$y = |\frac{8}{x+2} - 4|$$. Вертикальная асимптота: $$x = -2$$. Горизонтальная асимптота: $$y = 4$$. Нули функции: |\frac{8}{x+2} - 4| = 0 => \frac{8}{x+2} = 4 => 8 = 4(x+2) => 8 = 4x + 8 => 4x = 0 => x = 0$$. 2) Уравнение $$f(x) = c$$ имеет ровно одно решение, когда прямая $$y = c$$ пересекает график функции $$y = f(x)$$ в одной точке. Это происходит в следующих случаях: * $$c = 4$$ (касание в вершине "уголка" графика) * $$c < 0$$ (т.к. функция $$f(x)$$ всегда неотрицательна, то решений не будет) Найдем точки, в которых $$\frac{8}{x+2} - 4$$ меняет знак, т.е. $$\frac{8}{x+2} = 4$$, откуда $$x = 0$$. Когда x стремится к -2 слева, то $$f(x)$$ стремится к $$+\infty$$. Когда x стремится к -2 справа, то $$f(x)$$ стремится к $$+\infty$$. Найдем значение функции в точке x=0: $$f(0) = |\frac{8}{0+2} - 4| = |4 - 4| = 0$$. Таким образом, уравнение $$f(x) = c$$ имеет ровно одно решение при $$c=0$$ и $$c > 4$$. Ответ: $$c = 0$$ и $$c = 4$$.