15. Дана функция f(x)=|x|x-|x|-x. 1) Постройте график функции y=f(x). 2) При каких значениях m уравнение f(x)=m имеет ровно три решения?

1) Построим график функции y = f(x), где f(x) = |x|x - |x| - x.

Рассмотрим два случая:

а) Если x ≥ 0, то |x| = x, и функция принимает вид:

$$f(x) = x \cdot x - x - x = x^2 - 2x$$

б) Если x < 0, то |x| = -x, и функция принимает вид:

$$f(x) = -x \cdot x - (-x) - x = -x^2 + x - x = -x^2$$

Таким образом, функция f(x) задается следующим образом:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, \quad x \ge 0 \\ -x^2, \quad x < 0 \end{cases}$$

2) Найдем значения m, при которых уравнение f(x) = m имеет ровно три решения.

Графически это означает, что горизонтальная прямая y = m должна пересекать график функции f(x) в трех точках.

Рассмотрим функцию $$f(x) = x^2 - 2x$$ при $$x \ge 0$$. Найдем вершину параболы.

$$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2} = 1$$

$$y_v = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$$

Функция $$f(x) = -x^2$$ при $$x < 0$$ имеет максимум в точке (0, 0).

Горизонтальная прямая y = m будет пересекать график в трех точках, если m находится в диапазоне от -1 (включительно) до 0 (не включительно).

Ответ: -1