15. Дана функция $$f(x) = |x|x-|x|-3x$$. 1) Постройте график функции $$y = f(x)$$. 2) При каких значениях $$m$$ уравнение $$f(x) = m$$ имеет ровно два решения?

Решение: 1) Сначала упростим функцию, рассмотрев два случая: $$x \ge 0$$ и $$x < 0$$. Если $$x \ge 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид: $$f(x) = x*x - x - 3x = x^2 - 4x$$. Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид: $$f(x) = (-x)*x - (-x) - 3x = -x^2 + x - 3x = -x^2 - 2x$$. Таким образом, функция может быть записана как: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases}$$ Теперь построим график этой кусочно-заданной функции. Для $$x \ge 0$$: $$f(x) = x^2 - 4x$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = -b/2a = -(-4)/(2*1) = 2$$. Значение функции в вершине: $$f(2) = 2^2 - 4*2 = 4 - 8 = -4$$. Пересечение с осью $$x$$: $$x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0 \Rightarrow x = 0$$ или $$x = 4$$. Для $$x < 0$$: $$f(x) = -x^2 - 2x$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = -b/2a = -(-2)/(2*(-1)) = -1$$. Значение функции в вершине: $$f(-1) = -(-1)^2 - 2*(-1) = -1 + 2 = 1$$. Пересечение с осью $$x$$: $$-x^2 - 2x = 0 \Rightarrow -x(x+2) = 0 \Rightarrow x = 0$$ или $$x = -2$$. ```html ``` 2) Уравнение $$f(x) = m$$ имеет ровно два решения, если горизонтальная линия $$y = m$$ пересекает график функции $$y = f(x)$$ ровно в двух точках. Из графика видно, что это происходит при следующих значениях $$m$$: * $$m = -4$$ (пересечение в вершине параболы для $$x \ge 0$$ и в одной точке на параболе для $$x < 0$$) * $$m = 1$$ (пересечение в вершине параболы для $$x < 0$$ и в одной точке на параболе для $$x \ge 0$$) **Ответ: $$m = -4$$ и $$m = 1$$.**