Дана функция распределения случайной величины X: $$F(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \le 0, \\ x^2, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ 1, & \text{если } x > 1. \end{cases}$$ Найдите стандартное отклонение случайной величины X. Дайте ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби, результат округлите до тысячных.

Для начала найдем плотность распределения случайной величины X, которая является производной функции распределения F(x). В интервале (0, 1) плотность распределения f(x) будет производной x².

$$f(x) = \frac{d}{dx}F(x)$$ $$f(x) = \frac{d}{dx}x^2 = 2x, \text{ для } 0 < x \le 1$$

Теперь найдем математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X:

$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{1} x (2x) dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$$

$$E(X) = 2 \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Затем найдем математическое ожидание квадрата случайной величины X:

$$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{1} x^2 (2x) dx = 2 \int_{0}^{1} x^3 dx$$

$$E(X^2) = 2 \cdot \frac{x^4}{4} \Big|_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

Теперь вычислим дисперсию случайной величины X:

$$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{1}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9 - 8}{18} = \frac{1}{18}$$

Наконец, найдем стандартное отклонение, которое является квадратным корнем из дисперсии:

$$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{1}{18}} = \frac{1}{\sqrt{18}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$

Теперь округлим до тысячных:

$$\frac{\sqrt{2}}{6} \approx \frac{1.414}{6} \approx 0.23566 \approx 0.236$$

Ответ: 0.236